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2010年1月14日  

2010-01-14 08:51:58|  分类: 默认分类 |  标签: |举报 |字号 订阅

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当你在教育孩子的时候千万不要这样讲哦

   目前几何分为欧几里德几何,和非欧几里德几何。

    非欧几里德几何:两种特例——罗氏几何(双曲几何),黎曼几何(球面几何)。

1、欧几里德几何,三角形内角和=180度

      简称“欧氏几何”。几何学的一门分科。公元前3世纪,古希腊数学家欧几里德把人们公认的一些几何知识作为定义和公理,在此基础上研究图形的性质,推导出一系列定理,组成演绎体系,写出《几何原本》,形成了欧氏几何。在其公理体系中,最重要的是平行公理,按所讨论的图形在平面上或空间中,分别称为“平面几何”与“立体几何”。

  欧几里德几何有时就指平面上的几何,即平面几何。三维空间的欧几里德几何通常叫做立体几何。 高维的情形请参看欧几里德空间。

公理描述

欧几里德几何的传统描述是一个公理系统,通过有限的公理来证明所有的“真命题”。

欧几里德几何的五条公理是:

任意两个点可以通过一条直线连接。

任意线段能无限延伸成一条直线。

给定任意线段,可以以其一个端点作为圆心,该线段作为半径作一个圆。

所有直角都全等。

若两条直线都与第三条直线相交,并且在同一边的内角之和小于两个直角,则这两条直线在这一边必定相交。

第五条公理称为平行公理,可以导出下述命题:

通过一个不在直线上的点,有且仅有一条不与该直线相交的直线。

贡献:欧几里德在书中创造的一种被称为公理化的方法

   欧几里德采用的正是这种方法。他先摆出公理、公设、定义,然后有条不紊地由简单到复杂地证明一系列命题。他以公理、公设、定义为要素,作为已知,先证明了第一个命题。然后又以此为基础,来证明第二个命题,如此下去,证明了大量的命题。其论证之精彩,逻辑之周密,结构之严谨,令人叹为观止。零散的数学理论被他成功地编织为一个从基本假定到最复杂结论的系统。因而在数学发展史上,欧几里德被认为是成功而系统地应用公理化方法的第一人,他的工作被公认为是最早用公理法建立起演绎的数学体系的典范。

欧氏几何的完善:

    作为完成公理化结构的最早典范的《几何原本》,用现代的标准来衡量,在逻辑的严谨性上还存在着不少缺点。如一个公理系统都有若干原始概念(或称不定义概念),如点、线、面就属于这一类。欧几里德对这些都做了定义,但定义本身含混不清。另外,其公理系统也不完备,许多证明不得不借助于直观来完成。此外,个别公理不是独立的,即可以由其他公理推出。这些缺陷直到1899年德国数学家希尔伯特的在其《几何基础》出版时得到了完善。在这部名著中,希尔伯特成功地建立了欧几里德几何的完整、严谨的公理体系,即所谓的希尔伯特公理体系。这一体系的建立使欧氏几何成为一个逻辑结构非常完善而严谨的几何体系。也标志着欧氏几何完善工作的终结。

2、罗巴切夫斯基几何学:三角形三内角和<180度

    双曲几何又名罗氏几何(鞍马型之后,平面几何倒底还有几多可以适用,以及会有什么特别的现象产生。在双曲几何的环境里,平面的曲率是习惯的直观形象有矛盾。所以罗式几何中的一些几何事实没有象欧式几何那样容易被接受。但是,数学家们经过研究,提出可以用我们习惯的欧式几何中的事实作一个直观“模型”来解释罗式几何是正确的。

1868年,意大利数学家贝特拉米发表了一篇著名论文《非欧几何解释的尝试》,证明非欧几何可以在欧几里得空间的曲面(例如拟球曲面)上实现。这就是说,非欧几何命题可以“翻译”成相应的欧几里得几何命题,如果欧几里得几何没有矛盾,非欧几何也就自然没有矛盾。

人们既然承认欧几里是没有矛盾的,所以也就自然承认非欧几何没有矛盾了。直到这时,长期无人问津的非欧几何才开始获得学术界的普遍注意和深入研究,罗巴切夫斯基的独创性研究也就由此得到学术界的高度评价和一致赞美,他本人则被人们赞誉为“几何学中的哥白尼”。

黎曼几何(球面几何):三角形三内角之和>180度

 黎曼流形上的几何学。德国数学家G.F.B.黎曼19世纪中期提出的几何学理论。1854年黎曼在格丁根大学发表的题为《论作为几何学基础的假设》的就职演说,通常被认为是黎曼几何学的源头。在这篇演说中,黎曼将曲面本身看成一个独立的几何实体,而不是把它仅仅看作欧几里得空间中的一个几何实体。他首先发展了空间的概念,提出了几何学研究的对象应是一种多重广义量 ,空间中的点可用n个实数(x1,……,xn)作为坐标来描述。这是现代n维微分流形的原始形式,为用抽象空间描述自然现象奠定了基础。这种空间上的几何学应基于无限邻近两点(x1,x2,……xn)与(x1+dx1,……xn+dxn)之间的距离,用微分弧长度平方所确定的正定二次型理解度量。亦即  (gij)是由函数构成的正定对称矩阵。这便是黎曼度量。赋予黎曼度量的微分流形,就是黎曼流形。

黎曼认识到度量只是加到流形上的一种结构,并且在同一流形上可以有许多不同的度量。黎曼以前的数学家仅知道三维欧几里得空间E3中的曲面S上存在诱导度量ds2=Edu2+2Fdudv+Gdv2,即第一基本形式,而并未认识到S还可以有独立于三维欧几里得几何赋予的度量结构。黎曼意识到区分诱导度量和独立的黎曼度量的重要性,从而摆脱了经典微分几何曲面论中局限于诱导度量的束缚,创立了黎曼几何学,为近代数学和物理学的发展作出了杰出贡献。

黎曼几何中的一个基本问题是微分形式的等价性问题。该问题大约在1869年前后由E.B.克里斯托费尔和R.李普希茨等人解决。前者的解包含了以他的姓命名的两类克里斯托费尔记号和协变微分概念。在此基础上G.里奇发展了张量分析方法,这在广义相对论中起了基本数学工具的作用。他们进一步发展了黎曼几何学。

  但在黎曼所处的时代,李群以及拓扑学还没有发展起来,因此黎曼几何只限于小范围的理论。大约在1925年H.霍普夫才开始对黎曼空间的微分结构与拓扑结构的关系进行了研究。随着微分流形精确概念的确立,特别是E.嘉当在20世纪20年代开创并发展了外微分形式与活动标架法,建立了李群与黎曼几何之间的联系,从而为黎曼几何的发展奠定重要基础,并开辟了广阔的园地,影响极其深远。并由此发展了线性联络纤维丛的研究。

  1915年,A.爱因斯坦运用黎曼几何和张量分析工具创立了新的引力理论——广义相对论。使黎曼几何(严格地说洛伦兹几何)及其运算方法(里奇算法)成为广义相对论研究的有效数学工具。而相对论近年的发展则受到整体微分几何的强烈影响。例如矢量丛和联络论构成规范场(杨-米尔斯场)的数学基础。

  1944年陈省身给出n维黎曼流形高斯-博内公式的内蕴证明,以及他关于埃尔米特流形的示性类的研究,引进了后来通称的陈示性类,为大范围微分几何提供了不可缺少的工具并为复流形的微分几何与拓扑研究开创了先河。半个多世纪,黎曼几何的研究从局部发展到整体,产生了许多深刻的结果。黎曼几何与偏微分方程多复变函数论、代数拓扑学等学科互相渗透,相互影响,在现代数学和理论物理学中有重大作用。

  黎曼猜想,即素数的分布最终归结为如下所谓的黎曼ζ函数:

  ∞ 1

  ζ(z)= Σ ——— ,z=x+iy

  n=1 nz

  的零点问题,他做出这样的猜想:ζ(z)函数位于0≤x≤1之间的全部零点都在x=1/2之上,即零点的实部都是1/2,这至今仍是未解决的问题。

  黎曼几何和欧氏几何的不同功能

  在数学界,欧氏几何仍占主流;而物理界,则用的是黎曼几何。

  因为据黎曼几何,光线按曲线运动;而欧氏几何中,光线按直线运动。

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